1. 平面投射阴影的计算#

平面投射阴影，就是将需要投射阴影的物体再渲染一次，投射到地面上，来产生阴影。根据平面的位置，我们可以计算出一个投射的矩阵，直接将物体的坐标变换到平面上。

我们先来看简单的情况，如下图左边所示将阴影投射到x轴上的情况，我们在光源 $l$ 的照射下，需要从点 $v$ 投射阴影到点 $p$ ，根据三角形相似原理，我们可以简单地得到：

相应地，我们还可以算出 $z$ 轴上的坐标为：$p_z = (l_y v_z - l_z v_y) / (l_y - v_y)$，将结果整理成投影矩阵为：

这样可以通过矩阵计算投影坐标：$p = Mv$。

现在，我们看上图中右边这种更加一般的情况，在这种情况下，我们同样可以根据三角形相似原理，推导出投射阴影的坐标变换方程为：

从 $\mathbf{v}$ 点映射到 $\mathbf{p}$ 点：

令 $\mathbf{p} = \mathbf{Mv}$，推导后写成矩阵的形式：

如果是平行光源，计算的方式也是大致相同，并没有特别的难度。

在进行渲染时，我们可以选择先来渲染阴影，将投射阴影的物体，经过上述矩阵的变换到平面上，然后得到没有光照的黑色地面，此时同时把深度写入。然后再正常渲染地面和投射阴影的物体，为了使地面和阴影之间不会冲突，此时可以为深度值添加一些偏移。

添加偏移的方式可以直接通过图形 API 来添加，比如 OpgnGL 中的 glPolygonOffset 和 DirectX 中的 DepthBias设置。当然，你也可以选择在绘制阴影时添加偏移，绘制地面时正常绘制，最终的结果都是相同的。后面我们讲到的各种阴影技术，经常会用到添加偏移（bias）的技术。

另外一种安全的做法是，先正常渲染地面，然后渲染地面上的阴影，渲染阴影时将深度测试关闭，就不会产生深度冲突的问题。最后再渲染投射阴影的物体，这样可以防止阴影投射到非地面的区域。

如果接受阴影的地面不是一个无穷大的平面，则可能需要需要通过stencil buffer标记出需要接受阴影的部分，这样可以只让阴影产生在需要产生的平面上。

另外一个需要注意的情况，是如下图所示的情况，在进行计算时，需要保证投射阴影的物体，位于光源和接受阴影的地面之间，否则就会出现错误的阴影效果。

总的来说，这种直接投射阴影的方式，简单直接，适合直接投射在平面上的阴影。目前在手机游戏中，仍然有广泛的应用。

这种直接投射的阴影无法实现软阴影效果。而且由于我们是先渲染出的地面，再将影子的颜色乘以地面的颜色，这样其实并不是完全符合阴影产生的原理。

我们知道，阴影是由于地面没有受到光照而产生的，如果直接将地面的颜色乘以阴影，可能会产生不正确的阴影效果，特别是地面上有高光效果时。这类阴影叫做调制阴影（Modulated shadow），相对普通的阴影，开销要小一些。

2. 借助Texture的投射阴影#

上面我们说到的投射阴影，是直接渲染到被投射的平面上，这样我们就无法实现软阴影的效果，因此我们这里将阴影先保存在一张贴图中，再从贴图中投射到平面上。这样还可以先得到阴影图，再渲染地面，得到正确的阴影效果。

和前面的直接投射相比，这种方式因为中间经过了一层转变，如果保存阴影的贴图分辨率很低，就可能会造成投射出来的结果有锯齿感。

这样，我们就可以将贴图中的阴影先进行边缘模糊，再进行投射，就可以非常方便地得到软阴影效果。

上图为投射阴影实现的软阴影，先将阴影投射到贴图中，然后进行模糊，再投射至平面，实现软阴影效果

为了提升运行效率，我们还可以将多个物体的Texture打包到一个Shadow Atlas中，这样每个物体的投射阴影，占用整个大贴图的一部分。如果光源和投射阴影的物体都没有改变，我们甚至可以不用更新阴影，实现帧间阴影的复用。

1. shadow volume#

shadow volume 就是从光源沿着模型边缘拉伸至无限远处加上前盖后盖形成的形状。可以说，位于 shadowvolume 内部的物体，在渲染时具有阴影，在shadowvolume 外部的物体，在渲染时没有阴影。

2. ZPass算法#

Shadow Volume阴影的原理就是取一条从视点到目标点的线，每次进入Shadow Volume，Stencil模板计数加一，每次离开计数减一，这样计数为0的部分就是无阴影的地方，计数不为0的地方就是有阴影的地方。

Shadow Volume的实现需要两个Pass，第一个Pass是标记具有阴影的区域，第二个Pass是进行阴影渲染。

第一个Pass，从视点渲染Shadow Volume几何体，屏幕中被Shadow Volume覆盖的区域，就是所有可能产生阴影的位置。我们这里使用Stencil Buffer来标记出实际具有阴影的位置：开启Z-Test，设置Stencil模式为正面部分+1，背面部分-1。这样渲染完成后，Stencil Buffer为0的部分就是无阴影的地方，Stencil Buffer中不为0的部分就是有阴影的地方。

第二个Pass，同样也是渲染Shadow Volume的几何体，不过此时直接关闭深度测试，使用模板测试，直接在上一步中标记出的位置渲染出阴影。

3. Z-Fail算法#

ZPass算法有个缺陷，当摄影机在Shadow Volume中的时候，就会产生错误的结果。

当摄影机位于Shadow Volume中时，ZPass标记阴影区域失效：

所以就有了Z-Fail的算法，Z-Fail算法和ZPass算法类似，只是改成从物体背面计数，在Z-Test fail的几何体部分，在进入Shdow Volume时计数-1，离开时计数+1，这样就可以规避这个缺陷。

不过一般来说Z-Fail算法普遍要比ZPass算法慢，因为从背面渲染Shadow Volume，通常会覆盖更多的像素点。

因此在实践中，我们可以先做一个摄影机是否位于Shadow Volume中的判断，来决定使用ZPass或者是Z-Fail算法来进行标记阴影区域。

4. 生成阴影体的步骤#

有一种最常见的生成Shadow Volume的方法，不过这种方法要求目标模型是封闭的多边形网格（没有空洞、裂隙、自相交）。

分为三部分：front capping 前盖-> back capping 后盖-> silhouette 轮廓拉伸成的侧面

front capping就是取模型中面向光源的三角面，方向判断可以通过判断面法线和光源方向的乘积的正负值来判断。

back capping就是取模型中背向光源的面，沿光源方向拉伸到无穷远处。

silhouette是判断两个临接面与光源方向不同的边，若认为是轮廓边，则将每条边扩展拉伸到无穷远处形成一个四边形面。

5. 在无穷远出的渲染#

如何表示无穷远处的点？使用齐次坐标将w分量置为0，xyz表示方向即可。

如何避免图元在摄影机far clip plane外被裁剪掉?

一种方法是使用GL_DEPTH_CLAMP_NV扩展，将far plane外的点clamp到裁剪空间中。不过这个方法好像是只适用于OpenGL和NVIDIA显卡。

另外一种方法是稍微修改下摄影机的裁剪矩阵，将far plane设置为无穷远。

普通摄影机矩阵 (Standard Perspective Projection Matrix) ：

远裁面在无穷远处处的摄影机矩阵 (Infinite Far Plane Projection Matrix)：

当然精度或有微乎其微的减少。

6. 适用于非封闭模型的方法#

把模型分成两部分，一部分是面向光源的面，一部分是背向光源的面，分别进行拉伸生成Shadow Volume，就可以支持非封闭模型。缺点是原来的轮廓边相当于生成了两次，造成性能浪费。

上图中，左边是面向光源面，右边是背向光源面，两个加在一起形成正确的结果。

7. 使用Geometry Shader生成Shadow Volume#

使用GS可以将生成Shadow Volume的工作移交给GPU，不过必须用TRIANGLE_STRIP的方式来输入模型。

使用GL_TRINGLES_ADJACENCY_EXT模式来向GS中输入三角形图元，就可以获取三角形的邻接面，以此在GS中进行轮廓边判断、输出Shdow Volume等操作。

1. shadowmap 的原理#

当下应用最广泛最常见的方法，shadowmap 的使用，需要两个步骤。

假设我们现在要渲染带阴影的场景如下：

步骤1：从光源处出发，向光照的方向看去，来构造出光照空间。然后在光照空间，我们渲染需要产生阴影的物体，此时将深度写入到Z-Buffer中，得到保存最近处物体的深度值的Shdowmap。

步骤2：然后我们再次正常渲染物体，在渲染时，我们根据渲染物体的世界坐标，变换到上一阶段的光照空间坐标，再计算出该点在Shadowmap中的深度值并进行比较，如果相对光源的距离比Shadowmap中的深度要大，就说明该点处在阴影中，否则就说明不在阴影中。

下图显示了整个Shadowmap工作的流程：

对于锥形光源，我们只需要沿着光照方向生成Shadowmap。对于类似太阳光的平行光源，我们就需要使用正交投影来进行计算深度，而且投影体的空间范围，需要包含我们的视锥空间。如果是点光源，就会更加复杂一点，为了能保存各个方向的深度值，我们一般需要使用Cubemap 。如果将一个物体进行六次渲染，每次渲染深度到每个面，那么渲染深度的开销就会比较大，因此我们一般会使用RenderTargetArray配合Gemotry Shader，一次性将一个物体的深度，同时写入到六个面上。

2. Light Space Frustrum的计算#

Shadowmap的效果，一般会非常依赖于Shadowmap分辨率的大小和Z-Buffer的精度。因此我们要尽量提高Shadowmap的精度。

如果直接使用整个场景的AABB转化到Light Space，肯定是不行的，这样会造成很多不需要的阴影投射计算：

通常我们会使用下面的方式来计算Light Space Furstrum的边界大小。将世界空间视锥的八个顶点，变换到光照空间，算出在光照空间下，最远和最近的z值，并计算出AABB边界：

不过，这样也可能会造成另外一个问题，就是当摄影机的View Frustrum很小时，造成计算出来的Light Space Frustrum非常小，无法正确地投射所有需要投射阴影的物体。

因此我们还会根据整个场景的AABB空间，对得到的Light Space Frustrum进行扩展，使其能否覆盖到可能产生阴影的物体。当然，为了防止Light Space Frustrum的Near Plane 和Far Plane的值相差过大，我们还会在光照中设置一个最大阴影距离，当阴影投射物体，超出这个最大距离后，就不再投射阴影，来提高阴影的精度。

3. Shadow Bias处理自阴影走样#

如下图所示，在进行阴影计算时出现了Self-shadow Aliasing/Shadow Acne，在计算自身的阴影时，因为在Shadowmap中存储的深度值，和物体自身的深度是相同的。因为在写入 Shadowmap时，我们计算的是Shadowmap像素中心点的深度值，这样在进行深度采样时，由于Shadowmap的精度限制，就会使比较的深度值产生误差，造成错误的渲染效果。

自阴影走样，右边是加了Bias的效果：

一种常见的解决自阴影误差的方式，是使用 Bias Factor ，对采样时的深度值，沿着光照的方向进行偏移。偏移的值可以是一个常量，这样计算起来比较方便，但是可能会在斜平面上继续产生误差，使用常量时叫做 Constant Bias 。

下图左边展示了Shadow Acne出现的原因，黑色的竖线代表Shadowmap中像素点的位置。左边是未添加Bias的情况，当我们在彩色的位置点进行比较深度时，其实采样到的深度是旁边的竖线处x标记位置的深度，可以看出，绿色点的深度测试是正确的，蓝色和橙色的深度测试是错误。下图中间是使用了Bias的情况，将深度值沿着光照方向进行偏移固定的距离。这样绿色和橙色的点形成了正确的深度值，但是由于偏移的值比较小，蓝色的点的阴影计算，仍然是错误的。

左：出现Shadow Acne的原因； 中：使用Constant Bias； 右：使用Slope Scale Bias

我们发现，在斜面角度较大时，一个固定的偏移值就不再适用了，因此一个常见的改进，就是根据斜面角度来改变偏移值，叫做 Slope Scaled Depth Bias / Slope Bias 。如上图右边所示，可以看出所有的点的阴影计算结果都是正确的。

设平面法线和光照方向的夹角为θ，视锥大小为frustrumSize，Shadowmap的大小为 shadowmapSize，考虑到我们需要半像素的偏移，这样我们可以计算出需要的Slop Bias的偏移值为：

不过我们可以注意到，这个偏移值是和tan(θ)成正比的，这样的话，当θ趋近于90度时，偏移值是趋近于无穷大的，因此我们需要为偏移值设置一个最大值。

在实际游戏引擎实践中，我们常常需要结合两种Bias来使用，这样来达到较好的效果。

这两种Bias都可以通过图形API硬件来实现。例如在DX11中，我们可以在OutputMerge阶段中，通过参数指定两种Bias的值[1]：DepthBias和 SlopeScaledDepthBias ，这样总的Bias计算方式为：

Bias = (float)DepthBias * r + SlopeScaledDepthBias * MaxDepthSlope;

我们还可以设置DepthBiasClamp的值，防止计算出的Bias值过大：

Bias = min(DepthBiasClamp, Bias)

另外一种常用的替代Slope Scaled Depth Bias的方案是 Normal Offset Bias ，将阴影的计算位置沿着物体表面的法线偏移，通过计算我们可以算出需要偏移的距离为：

相对于Slope Scaled Depth Bias，这种方式的一个优点是不用担心θ趋近于90度时，整个偏移值趋近于无穷大。

UE4中，使用的 Constant Bias + Slope Scaled Depth Bias ：

Unity中，使用的是 Constant Bias + Normal Offset Bias ：

当然，我们的Bias值也不能设置得过大，否则会出现漏光等问题，也叫做 Peter Panning 。

为了保证这种Bias的方式能正确地解决深度冲突。我们应尽量保证物体几何模型是正确的，保证正反面朝向是对的，尽量保证模型封闭，且避免使用太薄的物体模型。

添加Bias可以是在生成Shadowmap阶段完成，也可以在阴影计算阶段，也就是生成Shadowmap时。在Vertex Shader中通过反向添加Bias的方式来偏移计算处的Shadowmap深度值，这样可以节省一些运行开销，且可以简化阴影的计算，这样在采样阴影时，就无需考虑计算偏移的问题。

大部分情况下二者得到的效果是基本接近的，不过在Shadowmap生成阶段添加偏移这种方式也有一些瑕疵：

1. 不够灵活，所有点的偏移值完全相同，意味着无法根据情况灵活调整Bias值，比如在PCF采样软阴影时，只能提前给出比较大的Bias值，而无法根据PCF Radius的大小灵活调整；
2. 和Normal Offset Bias，在光照角度比较小的时候，会导致渲染结果错误[2]，Unity中的阴影就有这样的缺陷。

还有一种比较少见的解决自阴影的方式，是将物体背面的深度写入到Shadowmap，进行深度测试时，就不会出现深度冲突。但是这种方式有很大限制，要求使用的模型必须是正确封闭的，且正反面没有错误。而且如果物体模型很薄，导致前面和背面深度几乎相等，这种方式仍然会失效。因此这种方式不太通用，现在已经很少能见到。

4. 移动平台的Pack#

某些旧的移动平台不支持浮点数纹理，这时需要我们将Shadowmap的深度值Pack到RGBA贴图中，Pack和UnPack的公式如下：

//Pack:
vec4 comp = fract(depth * vec4(255.0 * 255.0 * 255.0, 255.0 * 255.0, 255.0, 1.0));
comp -= comp.xxyz * vec4(0.0, 1.0 / 255.0, 1.0 / 255.0, 1.0 / 255.0);
//UnPack:
float depth = dot(texture((m_tex), (m_uv)), vec4(1.0 / (255.0 * 255.0 * 255.0), 1.0 / (255.0 * 255.0), 1.0 / 255.0, 1.0))

这里我们使用的是255作为模来使用，网上也能搜索到使用256作为模的版本。

但是测试结果表明，使用256时精度是不如255的[3]，而且还会遇到不同硬件表现不一致的问题，因此强烈建议使用255 作为参数。

5. Spot Light Shadow， Perspective Correct#

在写入到 Shdowmap 时，对于一个平行光，我们使用的是正交投影矩阵。而对于一个聚光或者点光源，我们使用的是透视投影矩阵。

Spot Light Shadowmap 的特殊处理，使用线性深度。

6. Point Light Shadow#

Geometry Shader 的应用,

SV_LAYER 作为REnderTarget

不需要 perspective correct

7. 基于 Shadowmap 的透射阴影#

实现如 SSS 效果等

1. 使用Perspective Warping#

这类方法，通过修改光照空间的投影矩阵，来为视锥近处的物体阴影，提供更高的精度。

常见的有这样几种方式，Perspective Shadow Maps（PSM），Light Space Perspective Shadow Maps（LiSPSM）和Trapezoidal Shadow Maps (TSM)。这些修改投影矩阵的方式原理上大致都是相通的，如下图所示，显示了这类方式的原理：

改变计算Shadwomap时的投影方向，就可以为近处提供更高的精度。

这类方式虽然使用起来简单，但是有很多无法处理的特殊情况，比如观察方向和光照方向完全相同时，这类方式就完全无法发挥作用。而且在摄影机移动时，这种方式非常的不稳定。

这类方式目前已经被彻底淘汰，这里也就不再深入讲解相关的原理和实现。

2. Cascaded Shadow Maps（CSM）#

CSM是目前最常见的提高Shadowmap精度的手段，候也叫做Parallel-Split Shadow Maps。

通常在渲染视角附近的物体时需要更高的Shadowmap精度，而直接生成的Shadowmap往往不符合这个条件，所以将Frustum分割成数个部分，每个部分单独生成一张Shadowmap，最后组合成一张Atlas。

从理论上来说，使用指数分布的CSM划分方案是最佳的，即满足

f、n是相机的far、near值，n是指数系数。

比如我们取n=3，f=1000。 这样我们划分出来的三级CSM就是：1-10，10-100， 100-1000。

但是如果我们这样来划分，最近处1-10这个范围的一个CSM划分，物体太少，反而会导致Shadowmap空间的浪费。因此在实践中，常常会结合指数划分和其他划分手段来使用，或者直接由用户手动设置相应的比例值。

3. Stablize CSM#

在使用Shadowmap时，在移动摄影机时，我们经常会遇到阴影闪烁的问题。因为当摄影机移动后，摄影机的View Frustrum会发生改变，同时Light Space的Frustrum会相应改变，就会造成两帧直接的阴影位置不一样，产生闪烁，在没有使用PCF过滤阴影时，会尤其明显。下图显示了这种闪烁的示例，可以看出视角的微小变化，导致阴影产生了剧烈的闪烁：

通常我们会使用Stabilize Cascades来解决这个问题，Stabilize Cascades将相机的移动分成两个部分来处理，分别是相机的旋转和平移。无论相机是如何运动的，都可以分解成沿着视锥中心的旋转和平移。

首先来看绕视锥中心的旋转，当视锥旋转时，因为视锥边界的改变，就会导致计算出来阴影的Light Space Frustrum改变，产生不稳定的结果。要解决这个问题，我们将视锥 Frustrum计算出一个球形的Bounding Volume出来，并用这个球形的Bounding Volume 来算出阴影的Light Space Frustrum，这样当我们的视锥沿着球体中心旋转时，得到的球形Bounding Volume是不变的，算出来的阴影的Light Space Frustrum自然也不会变化。

ab展示的传统的Light Space Frustrum计算过程，cd使用球形BV时的计算过程，在摄影机转动时也是稳定的。

从Frustrum生成Bounding Box Sphere，可以使用简单方法求出中心点，算最大半径的方式。也可以使用能得到更加紧凑边界的标准算法。

接下来就是处理摄影机平移的部分了，这一步的处理，就是通过偏移投影矩阵，来保证两帧之间，世界空间中的同一点，能投影到Shaodwmap中的相同相对像素位置上。为了计算方便，我们常常取世界空间中的零点，作为参考点，将世界空间的零点，变换到Shadowmap坐标中，并通过偏移，确保得到的Shadowmap坐标是对齐于某个像素的。对齐过程实现的大致代码如下：

            // Create the rounding matrix, by projecting the world-space origin and determining
            // the fractional offset in texel space
            XMMATRIX shadowMatrix = shadowCamera.ViewProjectionMatrix().ToSIMD();
// 使用零点作为参考点
            XMVECTOR shadowOrigin = XMVectorSet(0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
// 将参考点变换到 shadowmap的坐标
            shadowOrigin = XMVector4Transform(shadowOrigin, shadowMatrix);
            shadowOrigin = XMVectorScale(shadowOrigin, sMapSize / 2.0f);
// 在shadowmap坐标系中，将坐标对齐到整数坐标线上
            XMVECTOR roundedOrigin = XMVectorRound(shadowOrigin);
            XMVECTOR roundOffset = XMVectorSubtract(roundedOrigin, shadowOrigin);
            roundOffset = XMVectorScale(roundOffset, 2.0f / sMapSize);
            roundOffset = XMVectorSetZ(roundOffset, 0.0f);
            roundOffset = XMVectorSetW(roundOffset, 0.0f);
//应用偏移，得到新的 projection 矩阵
            XMMATRIX shadowProj = shadowCamera.ProjectionMatrix().ToSIMD();
            shadowProj.r[3] = XMVectorAdd(shadowProj.r[3], roundOffset);
            shadowCamera.SetProjection(shadowProj);

在大部分游戏引擎中，Stablize CSM都是默认打开的。不过需要注意的一点是，打开Stablize CSM时，因为阴影的有效范围减少了，所以是会导致阴影精度降低的。在可以保证阴影效果足够软而不会产生闪烁的时候，也可以选择关闭这个功能，来提升阴影的精度。

4. CSM Caching 在使用CSM时，我们常常会遇到CSM开销较大的问题，比如现在使用四级CSM级联，就意味着在生成Shaodwmap时，很多物体需要重复绘制四次。因此有的时候我们会对CSM进行一些优化。

一种方式是降低远处CSM的更新频率。比如在原神的PC版中，共有八级的CSM，前四级是每帧都更新的，后四级是逐帧依次更新的，这样相当于每帧需要更新五级的CSM。

另外一种方式是将CSM中算出的阴影动态缓存，对于静态物体的Shadowmap，是可以实现前后两帧之间的复用的。上一帧中静态物体的Shadowmap，经过一些小小的处理，在当前帧仍然是可用的，对于一些没有覆盖的区域，可以动态来检测，重新绘制生成：

5. Virtual Shadow Map： 未来的发展方向#

随着 Virtual Texture 技术在游戏引擎中的逐步推广，Virtual Shadow Map 也开始进入大众的视野之中。

UE5 中推出了 Virtual Shadow Map 的功能。理念类似Nanite的流加载。

1. Percentage-Closer Filtering (PCF)#

采样shadowmap 时，我们往往这样来实现一些软阴影的效果：在目标采样点周围，进行四次采样，然后取平均值，作为最终结果。注意这里的取平均值，并不是取平均值后进行比较，而是对四个采样点，分别进行深度测试，然后每个采样点的0或1的结果值进行平均，这样在半影区域就能得到软阴影效果。

这种将采样结果进行平均的方式叫做 Percentage-Closer Filtering (PCF) ，PCF通过将目标点附近的采样结果平均，来模拟出半影的效果。

现在的硬件都直接提供周围四点采样的加权PCF深度测试，比如OpenGL中的sampler2DShadow，DirectX中的 SampleCmp。这种采样的加权方式类似于普通像素采样时的双线性采样，在目标位置附近2X2像素中，逐像素进行深度比较，得到结果值0或1，然后将结果按照相对周围像素位置进行加权平均。

直接使用硬件PCF，只能采样到2X2的像素点，得到的半影过渡，往往不够柔和。如果想要更加柔和的阴影过渡，或者把半影区域扩大，就需要将采样点分布范围扩大，也需要增加采样点的个数。

简单的方式，是直接在目标点周围按照 Grid 模式进行采样，但是这样往往会在半影中看到分层的瑕疵。

因此我们更加常用的方式，是使用预计算好的 Possion 分布的采样点，来进行采样。为了使结果进一步平滑，我们还可以使用逐像素的噪声值，对采样点位置进行旋转，这样每两个相邻的像素点，采样的模式都是不同的，可以有效地平滑半影区域。

从左到右是 4*4 Grid采样，12点Possion采样，12点Possion采样 + 旋转，Possion分布图

2. PCF软阴影的bias问题#

在前面我们已经讲过 bias 的问题，在PCF采样中，因为PCF采样 shadowmap 的范围会比较大，因此会进一步暴露出 shadow acane 的问题。当然我们也有响应的手段来解决这些问题。

一种简单的方式，是根据PCF filter kernel 的大小，来动态改变 shadow bias 的大小，当然这样做的缺点也很明显，就是 PCF kernel 越大，就会损失越多的阴影精度信息。

另外一种方式是 bias cone ，根据当前采样点到采样中心的位置，来缩放bias的大小，如下图左边所示。是一种相对简单有效的缓解 bias 问题的方案。

上图右边显示的一种逐采样点来做精确bias的算法， Receiver Plane Depth Bias， 这种方式需要假定接受阴影的是一个平面，然后会根据每个阴影采样点到中心的位置，来计算偏移。一般能产生非常好的结果。

3. Percentage-Closer Soft Shadows (PCSS)#

PCF阴影的一个缺点，就是半影的宽度非常固定，无论产生阴影的位置距离光照有多远，半影的宽度都是一样的。

PCSS通过判断半影到遮挡物和半影到光源的距离，来动态确定半影的宽度。半影宽度越大，采样阴影的模式分布也越大，就能得到越柔和的阴影。这样就能得到如下图右边所示的，随距离变化的阴影效果。

左：PCF硬阴影，中：PCF软阴影，右：PCSS阴影

PCSS算法分成这样几个步骤：

1. 计算出区域内平均 blocker 深度；
2. 根据 blocker 深度，计算出需要的半影宽度；
3. 用半影宽度，作为 PCF kernal 的大小，计算出阴影。

PCSS的计算其实很简单，就是根据三角形相似，来计算出采样所需的分布距离，然后将距离内的采样值进行平均。

不过当半影宽度非常大时，就需要非常多的采样点，这样采样shadowmap的开销也会变大。因此PCSS是一种不太稳定的软阴影方案，在游戏中的实际应用并不是特别多。

4. Manual PCF 计算#

1. PerObject Shadow的实现#

这里，我们来小结一下逐物体阴影的常用应用场景。

1. Stationary模式的光照，烘焙静态物体的阴影；
2. 高精度角色阴影，和场景阴影分离；
3. 超出CSM阴影范围的物体，单独处理阴影；
4. 移动端廉价的 modulated shadow 实现（后面会讲到）。

2. 使用 Shadowmask 混合多种 Shadow#

由于阴影技术非常繁多且复杂，我们的阴影可能来自于如下技术的一种或者几种：

• CSM Shadow
• Per Object Shdow
• Capsule Shadow
• 烘焙阴影

如果同时在 Shader 中多个 PerObject 阴影。如果在一个pass中同时判断多个阴影，那么处理起来会非常麻烦，切回产生大量的 shader 变体。

一种通用的解决方案，是将阴影预先绘制到 shadowmask上。绘制到 shadowmap 时，可以使用相同的通道，分别使用不同的方式写入 shadow 值，混合方式选择取最小。

3. Modulated shadow的实现#

前面我们讲到的平面阴影，只能投射阴影到平面上，在使用shadowmap保存深度后，就可以将阴影投射到任意的曲面上，具体放方法如下：

首先我们得到需要渲染阴影物体的AABB，然后将AABB转换到 lightsapce，得到新的 orthogonal light space ABB。然后我们将物体的深度渲染到一张 shadowmap 中。

我们将 lightspace 的 AABB 沿着 光照方向进行延长，就得到了一个 shadow volume。

接下来我们就可以使用这个 shadow volume 来得到投射阴影了。将 shadow volume作为几何体进行渲染，在shader中读取当前位置的 depth 值，反算出世界坐标，在通过投影矩阵算出光照空间下的深度值，在 shadowmap中进行采样，得到阴影。将最终输出结果的混合方式为 DstColor Zero，这样，被遮挡区域有阴影的位置，颜色都这样乘以一个阴影系数，得到一个染色的效果，也就实现了 modulated shadow。

注意，为了防止在不需要阴影的区域渲染出阴影，我们需要在代码中进行clip，如果计算出shadowmap中对应的uv坐标超出0~1的范围，就不再渲染阴影。在Unity中实现的 shader 代码大致如下：

                float4 frag (v2f i) : SV_Target
		{
			float2 uv = i.vertex.xy * (_ScreenParams.zw - 1);
			float depth = tex2D(_CameraDepthTexture, uv).r;
	
#if !UNITY_REVERSED_Z
			depth = depth * 2 - 1;
#endif

#if UNITY_REVERSED_Z
			uv.y = 1 - uv.y;
#endif
			float4 clipPos = float4(2.0f * uv - 1.0f, depth, 1.0);//
//反算出世界空间坐标
			float4 worldSpacePos = mul(UNITY_MATRIX_I_VP, clipPos);
			worldSpacePos /= worldSpacePos.w;//
//得到shadowmap中uv坐标
			float4 projectorPos = mul(_WorldToProjector, worldSpacePos);
	
#if UNITY_REVERSED_Z
			projectorPos.z = clamp(projectorPos.z, 0.0001, 1);
#else
			projectorPos.z = clamp(projectorPos.z, 0, 0.9999);
#endif
// uv不在0~1范围内，不需要阴影
			clip(projectorPos.xy);
			clip(1 - projectorPos.xy);
			projectorPos.xy = projectorPos.xy * _ShadowmapTex_ST.xy + _ShadowmapTex_ST.zw;
			float shadow = SAMPLE_TEXTURE2D_SHADOW(_H3D_GroundShadowmapTex, sampler_H3D_GroundShadowmapTex, projectorPos.xyz).r;
			return shadow;
		}

Modulated shadow 有这样两个明显的缺点：1，无法完全正确还原阴影效果，因为 modulated shadow 是通过将原色乘以某个系数来实现的阴影，而非遮蔽光照形成阴影，因此效果会有误差。而且多个modulated shaodw 会多次叠加在一起。2，在特定的观察角度下，modulated shadow 可能会穿过被投射阴影的物体。

UE4中Modualted shaow的效果，可以看到两个人物的阴影出现错误的叠加。

天涯明月刀手游中的modualted shadow，错误地穿过了树干

在游戏实践中，最常用到 modulated shadow的地方，就是将人物投影在地面上。我们知道，modulated shadow 的效果是有偏差的，特别在人物身上这种非常高频的区域，就会非常明显。因此我们通常会使用模板的方式，将人物身上的modulated shadow剔除掉，只显示在地面上。对于人物身上的自阴影，我们会按照正常的shaodwmap 来渲染。

这样一来，我们为人物单独生成一张 shadowmap，会同时在两个地方用到，一是用于产生人物身上的自阴影，二是用于地面投射的modulated shadow。这也是手机游戏中常用的一种处理人物角色阴影的方案。

比如在天涯明月刀手游中，就是使用这样的实现方式。如下图所示，左边是 shadowmap，右边是渲染的结果，shaowmap 同时用来实现人物身上的自阴影和地面上的 modualted shadow。

左边是仅针对人物生成的shadowmap、同时用于人物的自阴影，和地面的投影

1. Variance Shadow Map(VSM)#

VSM 使用两张 shadowmap，分别存储深度值和深度值的平方，具体原理如下：

已知切比雪夫不等式为：

这样，我们使用两张 shadowmap 分别存储深度值和深度值的平方。这样，将两张 shadowmap 进行 filter 处理（使用 mipmap 或者双 pass 高斯模糊），就可以直接得到 $E(x)$ 和 $E(x^2)$，已知方差 $\sigma^2 = E(x^2) - E(x)^2$，这样，我们可以直接将得到的 $P(x)$ 值作为阴影系数值来使用，方便地得到软阴影。

当然，从上面的切比雪夫不等式我们可以看出，这里的 $P(x)$，其实只是一个概率值的上界，我们这里是直接使用这个上界作为最终的阴影系数来使用了。

下面，我们就来证明下，在简单的光照环境下，这种直接使用上界得到的阴影系数是合理的：

现在有一个深度值为 $d_1$ 的平面，投射阴影到深度值为 $d_2$ 的平面上。现在我们在采样阴影时进行 filter，设 $p$ 为未被遮挡的比例，也就是我们期望得到的阴影系数值，由此我们可以得到：

我们从切比雪夫不等式中得到的概率上界为：

和我们的期望值是相等的，证明我们这样来使用切比雪夫不等式的概率上界是正确的。

这样，我们就可以通过对 shadowmap 进行预处理，来得到软阴影。

我们的实现过程大致如下：

1、在光照空间下，将深度值和深度值的平方分别存储到两张 flaot 格式的shadowmap中；

2、将两张shadowmap进行mipmap处理，或者使用双pass高斯模糊；

3、在渲染时进行阴影计算，如果当前像素点的深度值小于平均深度 ，说明该点没有被阴影遮挡。如果深度值大于平均深度，就是用前面的公式来计算阴影系数。

左：直接进行VSM计算；右：先进行mipmap处理，再计算VSM

在一些复杂光照环境下，VSM可能会出现一些瑕疵。

左边是正常的VSM计算，在右边，添加了一个三角形后，造成了明显的漏光

2. Exponential Shadow Map ESM#

ESM 也是一种类似 VSM 的 Filtered Shadow Map。在空间中有一点 $x$，设 $d(x)$ 为 $x$ 到光源的距离，$z(p)$ 表示当前方向上最近的遮挡物的距离，这样我们得到阴影函数为：

$s(x)$ 得到的结果是 0 或者 1，表示当前的点是否被阴影遮挡。

现在，我们使用指数函数来代替函数 $f$，我们这样来定义这样一个指数的函数，来代替原来的 0 或 1 的大小判断：

从下图中我们可以看出，当 $d - z > 0$ 时，新的函数 $f$ 和原来的阴影判断函数 $s$ 是非常接近的，且 $c$ 的值越大，就越接近。

在使用原始的阴影函数计算软阴影时，得到的过滤后的结果为：

这也是我们熟悉的 PCF 计算软阴影的方式。现在，我们使用指数函数来代替上述的计算过程：

观察最后这个公式，我们发现左边的部分是可以直接在计算阴影时求得，右边的部分，其实是可以通过预过滤的方式计算出来。也就是说，我们生成的 shadowmap 中存储 $e^{cz_i}$ 的值，然后对 shadowmap 进行 filter 处理，就可以得到右边 $\sum_{i}^{N} we^{cz_i}$ 的部分。

从前面的图像中我们知道，$c$ 的值越大，指数函数的图形就和真实的阴影判断越接近。不过在实际计算时，由于精度的限制，我们不能把 $c$ 的值设置得过大，通常选择一个合适的值即可。

一个针对 ESM 的改进，是对深度值的编码做出一些改进，将结果保存在 log 空间中，这样可以使用更大的 $c$ 值，得到的结果精度自然也会更高：

3. Exponential Variance Shadow Map EVSM#

EVSM是一种对VSM的改进，人们发现，在使用VSM的时候，可以将深度使用一个 wrap 函数进行处理，然后直接对 wrap 后的结果进行VSM中同样的计算处理，可以得到更好的阴影结果。

借鉴ESM中的做法，这个 wrap函数就是 $e^{cx}$ 。在实践中，会使用 $-e^{cx}$ 再求出一个 wrap 值，然后取两个结果的最小值。

因此这种方法叫做EVSM，结合了ESM和VSM的优点，缺点就是使用的Buffer存储较多，需要4通道。

4 . Moment Shadow Map MSM#

moment意思是矩，表示变量的分布特征，比如一阶矩就是平均值，二阶矩就是方差。

5 . Filterable Shaodwmap的小结#

各个方案的概览如下，一般来说，使用的通道数越多，效果也越好。

一个网络上的不同shadowmap技术的示例。

相对于普通的PCF阴影，Filterable Shadowmap 拥有一些模糊阶段的固定开销。在采样非常软的阴影的时候，相对普通的PCF是有性能优势的。但是在硬阴影下，性能反而会下降。

除此之外，Filterable Sadowmap 要产生类似类似PCSS的可变柔和度的阴影，实现起来要复杂很多。

而且 Filterable Shaodmap还有考虑硬件兼容，数值溢出，以及一些漏光等边界条件。因此个人不是非常推荐使用 Filterable Shadowmap 来代替普通的PCF阴影，特别是在移动平台上。不过在使用静态烘焙阴影时，因为可以进行预处理模糊阴影，使用 Filterable Shaodmap 是一个可以用来尝试降低运行开销的方案。