向量和点的表示#

列向量形式（计算机图形学广泛使用）：

行向量简化形式（为了阅读方便）：

• 写作：$(v_x, v_y, v_z)$
• 实际代表：$(v_x, v_y, v_z)^T$

IMPORTANT

为什么使用列向量 计算机图形学约定，与矩阵左乘的习惯一致

齐次坐标#

核心概念：用4个分量表示3D坐标

第4分量的含义：

• $v_w = 0$：表示向量（方向，无位置）
• $v_w = 1$：表示点（位置）

为什么需要齐次坐标？

1. 统一表示点和向量
2. 使平移、旋转、缩放都能用矩阵乘法
3. 透视投影需要 $w$ 分量

WARNING

点和向量的区别

• 点：有位置，可以平移
• 向量：只有方向和长度，平移无意义
• 齐次坐标通过 $w$ 分量区分两者

索引方式的灵活性：

• 下标：$(v_x, v_y, v_z)$ 或 $(v_0, v_1, v_2)$
• 数字索引在算法中更方便

二维向量：

• 直接跳过第三个分量
• $(v_x, v_y)^T$

矩阵表示#

常用尺寸：$2 \times 2$, $3 \times 3$, $4 \times 4$

以 $3 \times 3$ 矩阵为例：

元素访问：

• $m_{ij}$：第 $i$ 行，第 $j$ 列
• $i, j \in [0, 2]$（从0开始索引）

方程1.2 - 向量分离表示：

• $\mathbf{m}_{,j}$：第 $j$ 个列向量
• $\mathbf{m}_{i,}$：第 $i$ 个行向量（以列向量形式表示）

列向量的命名索引：

或

（$4 \times 4$）

TIP

列向量表示的优势 变换矩阵的每一列代表变换后的基向量，直观理解变换效果

平面表示#

标准形式：

• $\mathbf{n}$：平面法线（描述朝向）
• $d$：标量（到原点的有向距离）
• $\mathbf{x}$：平面上的任意点

法线的含义：

• 平面：所有点具有相同法线
• 曲面：每个点的法线不同

空间划分：

• 正半空间：$\mathbf{n} \cdot \mathbf{x} + d > 0$
• 负半空间：$\mathbf{n} \cdot \mathbf{x} + d < 0$
• 平面上：$\mathbf{n} \cdot \mathbf{x} + d = 0$

三角形表示#

三个顶点定义一个三角形

表1.2 数学运算符#

重点运算符详解：

垂直算子（Graphics Gems IV）：

• 作用：2D向量旋转90°
• 定义：$\mathbf{v}^\perp = (-v_y, v_x)^T$

行列式的多种表示：

• $|A|$
• $|mathbf{a}\ \mathbf{b}\ \mathbf{c}|$（列向量表示）
• $\det(\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c})$

限制操作符（着色计算中频繁使用）：

操作符8 - 非负限制：

将负数部分限制到0

操作符9 - 0-1限制：

IMPORTANT

限制操作符的重要性 着色计算中大量使用，确保颜色值在合法范围内

:::

阶乘（方程1.5）：

$$n! = n(n-1)(n-2) \cdots 3 \cdot 2 \cdot 1$$

特例：$0! = 1$

二项式系数（方程1.6）：

$$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

坐标系统术语#

坐标平面（轴对齐平面）：

• $x = 0$平面
• $y = 0$平面
• $z = 0$平面

主轴/主方向/标准基：

• $\mathbf{e}_x = (1, 0, 0)^T$：X轴
• $\mathbf{e}_y = (0, 1, 0)^T$：Y轴
• $\mathbf{e}_z = (0, 0, 1)^T$：Z轴

标准正交基：

• 相互垂直的单位向量
• 本书默认使用（除非特殊说明）

区间表示#

符号	含义
$[a, b]$	闭区间，包含$a$和$b$
$(a, b)$	开区间，不包含$a$和$b$
$[a, b)$	左闭右开，包含$a$不包含$b$
$(a, b]$	左开右闭，不包含$a$包含$b$

表1.3 特殊数学函数#

atan2函数：

$$-\pi \le \text{atan2}(y, x) \le \pi$$

对比标准反正切：

$$-\frac{\pi}{2} < \arctan(x) < \frac{\pi}{2}$$

atan2的优势：

1. 输出范围更大（全角度）
2. 两个参数，避免除零
3. 常用于计算 $\arctan(y/x)$

对数约定：

$$\log(n) = \ln(n) = \log_e(n)$$

WARNING

重要约定 本书中 $\log$ 始终表示自然对数，不是常用对数 $\log_{10}$

颜色表示：

渲染图元#

硬件支持的图元：

• 点（Point）
• 线（Line）
• 三角形（Triangle）

TIP

历史上的例外

• Pixel-Planes：可绘制球体
• NVIDIA NV1：可绘制椭球体
• 现代GPU几乎全部只支持三角形

术语层次#

几何实体（Geometric Entities）：

• 基本图元的集合

模型/物体（Model/Object）：

• 几何实体的集合
• 示例：
  • 简单：一条直线
  • 复杂：一辆车（车门+轮子+…）
• 高级表示：
  • Bezier曲线
  • Bezier曲面
  • 细分曲面

场景（Scene）：

• 环境中所有待渲染模型的集合
• 额外包含：
  • 材质信息
  • 灯光信息
  • 观察信息（相机）

IMPORTANT

物体的层次性 物体可以包含其他物体，例如：

• 车 = 4个车门 + 4个轮子 + …
• 形成树状层次结构

实际中的灵活性#

• 一个物体通常包含一系列渲染图元
• 但也有例外：物体可以是高级几何表示
• 物体可以嵌套其他物体

含义1：视觉外观#

计算机生成的视觉效果

示例术语：

• 着色模型（Shading Model）
• 着色方程（Shading Equation）
• 卡通渲染（Toon Shading）

含义2：可编程组件#

渲染系统中的可编程部分

示例术语：

• 顶点着色器（Vertex Shader）
• 像素着色器（Pixel Shader）
• 着色器语言（Shading Language）

TIP

如何区分 通过上下文判断：

• 讨论算法/效果 → 视觉外观
• 讨论编程/管线 → 可编程组件